Algorithm - Graph Theory - Lec 4

All Pairs Shortest Path - Floyd Warshall & Johnson Algorithm

Algorithm
Algorithm / Graph Theory / NTU

前兩講討論的是給定起點，問到其他點的最短距離，稱為單源最短路徑問題，而現在我們想考慮 $V$ 中兩兩點對彼此間的最短距離，又稱全點對最短路徑問題。

一個簡單的想法是對每一個點都跑一遍單源最短路徑的 Algorithm，複雜度如下：

  • Bellman-Ford: $\mathcal{O}(V*EV) = \mathcal{O}(EV^2)$
  • Dijkstra (W/ Fib. Heap): $\mathcal{O}(V*(E+V \log V)) = \mathcal{O}(EV + V^2 \log V)$

Note: Dijkstra 不能處理負邊

Floyd-Warshaall Algorithm

在此我們發展一個專用於找全點對最短路徑的演算法。核心想法是將 $u \rightarrow v$ 的路徑依照經過的中繼點做分類(有/無經過)，一次增加一個可用的中繼點，並更新所有路徑。

優點 (與 Bellman-Ford 一樣):

  • 可以處理有負邊的圖
  • 檢測是否存在負環

Dynamic Programming

\[ d_{ij}^k \, : \, \text{the cost of shortest path from} \, v_i \rightarrow v_j \, \text{using only} \, \{v_1, v_2,\cdots,v_k\} \]
\[ d_{ij}^k = \min\{\underbrace{d_{ij}^{k-1}}_{\text{\color{blue}{DOESN'T go through}} \, \color{blue}{v_k}}, \underbrace{{d_{ik}^{k-1} + d_{kj}^{k-1}}}_{\text{\color{blue}{go through}} \,\color{blue}{v_k} \,\text{\color{blue}{exactly once}}}\} \]

$\displaystyle \Rightarrow$ Final answer: $\displaystyle d_{ij}^n$

複雜度為 $\mathcal{O}(V^3)$

Implementation

Johnson’s Algorithm

相比於 Bellman-Ford 跑 $|V|$ 次的複雜度， Floyd-Warshall 可算是樂勝了；但對 Dijkstra 卻不盡然，如果說今天圖上的邊不多時(e.g $|E| = \mathcal{O}(V \log V)$)，跑 Dijkstra $|V|$ 次的複雜度還比較好。
Note: 完全圖: $|E| = \mathcal{O}(V^2)$

但注意到，Dijkstra 只能處理沒有負邊的圖，所以直接使用是不行的。而 Johnson’s Algorithm 的核心概念在於重新調整邊的權重使其為非負，再來對每個節點跑Dijkstra 。

更改邊權重

Want: 不影響最短路徑及負環的位置

方法: 對於圖上每個節點賦予一個權重 $h(v)$ ，而每條邊的權重更新為

\[ w^{\prime} (u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) \]

Correctness

  • $s \rightarrow v$ 的最短路徑不變
\[ \begin{aligned} w^{\prime} (s,v) & = w^{\prime}(s,v_1) + w^{\prime}(v_1,v_2) + \cdots + w^{\prime}(v_{k-1},v)\\ & = [w(s,v_1) + h(s) - h(v_1)] + [w(v_1,v_2) + h(v_1) - h(v_2)] + \cdots + [w(v_{k-1},v) + h(v_{k-1}) - h(v)] \\ & = [w(s,v_1) + h(s) - \cancel{h(v_1)}] + [w(v_1,v_2) + \cancel{h(v_1)} - \cancel{h(v_2)}] + \cdots + [w(v_{k-1},v) + \cancel{h(v_{k-1})} - h(v)] \\ & = [w(s,v_1) + w(v_1,v_2) + \cdots + w(v_{k-1},v)] + h(s) - h(v)\\ & = w(s,v) + \underbrace{h(s) - h(v)}_{\text{定值}}\\ \end{aligned} \]
  • 負環還會是負環 (∵ $h(s) - h(v) = 0 \, \Rightarrow \, w^{\prime}(s,v) = w(s,v)$)

那麼接下來的問題是，該如何 assign $h(v)$ ，使得邊的權重均為非負呢？

決定節點權重

我們回到 Bellman-Ford 完成後(所有點均不能再被 relax )來看 ，滿足的不等式為

\[ \begin{aligned} d(u) + w(u,v) & \geq d(v) \; \forall \,u,v \in V \\ \Rightarrow w^{\prime}(u,v) & \geq 0 \end{aligned} \]

移項之後可以發現，用任一起點到其他節點的最短路徑值作為 $h$ ，可以滿足邊權重為非負的要求😄

Combine Together

  1. 先用 Bellman-Ford 跑一遍去賦予節點值，並以此更新權重
  2. 對每個點跑 Dijkstra ， 並減去 $h(s) - h(t)$ 得到原先的最短路徑值

實做細節: 考慮 $G$ 並非 connected，我們額外加一個超級起點連接到所有節點(W/ 權重 0)，確保每個邊都可被更新到。

複雜度: $\mathcal{O}(VE + V^2 \log V)$

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